Тема урок производная показательной функции число е. «Число е. Производная показательной функции Конспект урока производная показательной функции число е

График показательной функции представляет собой кривую плавную линию без изломов, к которой в каждой точке, через которую она проходит, можно провести касательную. Логично предположить, что если можно провести касательную, значит функция будет дифференцируема в каждой точке своей области определения.

Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = x a , Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = e x в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e ∆x -1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.

Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:

e = 2,7182818284…

Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом . Обозначается ln(x) = log e (x).

Производная показательной функции

Теорема: Функция e x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (e x)’ = e x .

Показательная функция a x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (a x)’ = (a x)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Пример: найти производную функции y = 2 x .

По формуле производной показательной функции получаем:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Ответ: (2 x)*ln(2).

Первообразная показательной функции

Для показательной функции a x заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (a x)/(ln(a)).
ln(a) - некоторая постоянная, тогда (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для любого х. Мы доказали эту теорему.

Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.

Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5 x . Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Цели урока: сформировать представление о числе е ; доказать дифференцируемость функции в любой точке х ;рассмотреть доказательство теоремы о дифференцируемости функции ; проверка сформированности умений и навыков при решении примеров на их применение.

Задачи урока.

Образовательная: повторить определение производной, правила дифференцирования, производную элементарных функций, вспомнить график и свойства показательной функции, сформировать умение нахождения производной показательной функции, осуществить контроль знаний с помощью проверочного задания и теста.

Развивающая: способствовать развитию внимания, развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательная: воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально.

Методы обучения: словестный, наглядный, деятельный.

Формы обучения: коллективная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа” (под редакцией Колмогорова), все задания группы В “Закрытый сегмент” под редакцией А.Л. Семенова, И.В.Ященко, мультимедийный проектор.

Этапы урока:

1. Сообщение темы, цели, задач урока (2мин.).
2. Подготовка к изучению нового материала через повторение раннее изученного (15 мин.).
3. Ознакомление с новым материалом (10 мин.)
4. Первичное осмысление и закрепление новых знаний (15 мин.).
5. Задание на дом (1 мин.).
6. Подведение итогов (2 мин.).

Ход урока

1. Организационный момент.

Объявляется тема урока: “Производная показательной функции. Число е.”, цели, задачи. Слайд 1. Презентация

2. Активизация опорных знаний.

Для этого на I этапе урока ответим на вопросы и решим задачи на повторение. Слайд 2.

У доски два ученика работают по карточкам, выполняя задания типа В8 ЕГЭ.

Задание для первого ученика:

Задание для второго ученика:

Остальные учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам:

Вариант 1		Вариант 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг у друга, сверяясь сответами по слайду 3.

Рассматриваются решения и ответы учащихся, работающих у доски.

Проверка домашнего задания №1904. Демонстрируется слайд 4.

3. Актуализация темы урока, создание проблемной ситуации.

Учитель просит дать определение показательной функции и перечислить свойства функции у = 2 х. Графики показательных функций изображаются в виде гладких линий, к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 равносильно её дифференцируемости в х 0.

Для графиков функции у = 2 x и у = 3 x проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35° и 48° соответственно. Слайд 5.

Вывод: если основание показательной функцииа увеличивается от 2 до, например, 10, то угол между касательной к графику функции в точки х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45

Доказано, что существует такое число большее 2 и меньшее 3.. Его принято обозначать буквой е . В математике установлено, что число е – иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.

е = 2,7182818284590…

Замечание (не очень серьезное). Слайд 6.

На следующем слайде 7 появляется портреты великих математиков – Джона Непера, Леонарда Эйлера и краткая справка о них.

• Рассмотреть свойства функции у=e x
• Доказательство теоремы 1. Слайд 8.
• Доказательство теоремы 2. Слайд 9.

4. Динамическая пауза или разрядка для глаз.

(Исходное положение - сидя, каждое упражнение повторяется 3-4 раза):

1. Откинувшись назад, сделать глубокий вдох, затем, наклонившись вперед, выдох.

2. Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза, не открывая век.

3. Руки вдоль туловища, круговые движения плечами назад и вперёд.

5. Закрепление изученного материала.

5.1 Решение упражнений №538, №540, №544в.

5.2 Самостоятельное применение знаний, умений и навыков. Проверочная работа в форме теста. Время выполнения задания – 5 мин.

Критерии оценки:

“5” – 3 балла

“4” – 2 балла

“3” - 1 балл

6. Подведение итогов и результатов работы на уроке.

1. Рефлексия.
2. Выставление оценок.
3. Сдача тестовых заданий.

7. Задание на дом: п. 41 (1, 2); № 539 (а, б, г); 540 (в, г), 544 (а, б).

“Закрытый сегмент” №1950, 2142.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Число е 11 класс

ПОВТОРЕНИЕ – мать учения!

Определение показательной функции Функция, заданная формулой у = а х (где а >0, а ≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

Свойства показательной функции у = а х а>1 0

Определение производной функции в точке х 0 . при Δ → 0. Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δх → 0.

Геометрический смысл производной x ₀ α A y = f(x) 0 x y к = tg α = f " (x ₀) Угловой коэффициент к касательной к графику функции f (x) в точке (х 0 ; f (x 0) равен производной функции f "(x ₀). f(x 0)

Игра: «Найди пары» (u + v)" cos x e (u · v)" n· xⁿ ⁻" п (u / v)" - 1 /(sin² x) a (x ⁿ)" - sin x н C" u" v +u v" к (C u)" 1 / (cos ² x) т (sin x)" (u" v – u v") / v² c (cos x)" 0 o (tg x)" u" + v " э (ctg x)" C u" н

Проверь себя! (u + v)" u" + v" э (u · v)" u"· v + u· v " к (u /v)" (u‘ · v –u · v") / v² с (x ⁿ)" n · x ⁿ ⁻¹ п C" 0 о (Cu)" C u " н (sin x)" Cos x е (cos x)" - sin x н (tg x)" 1 / (cos² x) т (ctg x)" - 1 / (sin² x) а

Экспонента - это степенная функция. Экспонента - функция, где e - основание натуральных логарифмов.

1 у= е х 45° Функция у= е х называется «экспонента» х ₀ =0; tg 45° = 1 В точке (0;1) угловой коэффициент к касательной к графику функции к = tg 45° = 1 - геометрический смысл производной экспоненты Экспонента у = е х

Теорема 1. Функция у = е дифференцируема в каждой точке области определения, и (е)" = е х х х Натуральным логарифмом (ln) называется логарифм по основанию е: ln x = log x е Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, и (а)" = а ∙ ln a x x Теорема 2 .

Формулы дифференцирования показательной функции (e)" = e ; (e)" = k e ; (a)" = a ∙ ln a ; (a)" = k a ∙ ln a . x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F(a x) = + C; F(e x) = e x +C.

«Упражнения рождают мастерство.» Тацит Публий Корнелий - древнеримский историк

Примеры: Найти производные функций: 1. = 3 е. 2. (е)" = (5х)" е = 5 e . 3. (4)" = 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 х)" 2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2 . 5 х 5 х х (3 е)" 5 х -7 х х х -7 х -7 х х

Интересное рядом

Леонард Эйлер 1707 -1783 г.г. Русский ученый – математик, физик, механик, астроном… Ввел обозначение числа е. Доказал, что число е ≈ 2, 718281…-иррациональное. Джон Непер 1550 – 1617 г.г. Шотландский математик, изобретатель логарифмов. В его честь число е называют « неперовым числом».

Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным

Тема: Производная показательной функции. Число .

Дидактическая цель: сформировать представление о числе е, доказать дифференцируемость функции в любой точке , дифференцирование функции . Дать понятие натурального логарифма.

Развивающая цель: развивать умение быстро и правильно проводить вычисления с применением персонального компьютера.

Воспитательная цель: продолжить формирование умения правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию, что является важнейшим качеством будущего специалиста.

Наглядные пособия: плакаты.

Раздаточный материал: карточки-задания для индивидуальной работы. Оборудование: компьютер учителя, мультимедийный проектор, экран. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Рассказать, какую важную роль играют логарифмы в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркнуть значение числа е и натурального логарифма.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II . Объяснение нового материала.

1)Графики показательной функции.

3) Число .

4) Вычисление числа .

5) Формула производной показательной функции.

6) Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel .

7) Первообразная показательной функции.

8) 3начение числа .

III. Решение примеров.

IV. Итоги урока.

V. Домашнее задание.

Объяснение. Графики показательной функции изображались в виде гладких линий (т.е. без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой равносильно её дифференцируемое в х 0 . Поэтому естественно предположить, что во всех точках области определения она дифференцируема. Нарисуем несколько графиков функции у=а х для у=2 х , у=З х , у=2,З х (Приложение №1)

Проведём к ним касательные в точке с абсциссой . Касательные расположены к графикам различны. Измеряем углы наклона каждой из них к оси абсцисс и убеждаемся, что углы наклона этих касательных приблизительно равны 35°...51°, т.е. с увеличением а угловой коэффициент к графику в точке М(0;1) постепенно возрастает от tg 35 до tg 51.

Существует такое число, болышее2 и меньшее 3, что показательная функция у=а х в точке 0 имеет производную равную 1. Основание этой функции принято обозначать буквой е. Число е иррационально, и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной дроби

e ≈ 2,7182818284…

С помощью ЭВМ найдено более 2 тысяч десятичных знаков числа е. Первые числа таковы 2,718288182459045~2,7.

Функцию часто называют экспонентой. Полученное число играет огромную роль в высшей математике также как и знаменитое число 3,14. Формула производной показательной функции.

Теорема 1. Функция .

Доказательство. Находим приращение функции

при .

По определению производной , т.е при любых .

Доказать, что самостоятельно.

Пример.

Даю определение: Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию :

Теорема 2. Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, и .

Примеры. , . Найти производные функций.

Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel .

Пример. Исследуем функцию на возрастание (убывание) и экстремум и построим её график.

Так как для любых , то знак совпадает со знаком . Следовательно на , - возрастает

на , - убывает.

Для построения графика используем программу MS Excel .

Первообразная показательной функции.

Теорема 3.Первообразной для функции на R является функция . Доказательство:

Примеры:

а) ,

б) ,

в) , .

г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Значение е.

Полученное число играет огромную роль в математике, физике, астрономии, биологии и других науках. Вот некоторые:

Это славное е

Помогает вполне

Уяснить вам и мне

Год рожденья Толстого Л.Н. 2,71828

Формула Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783г) Знаменитый математик 18в. Эйлер установил зависимость силы трения от числа оборотов верёвки вокруг сваи.

, -сила, против которой направлено наше усилие ; е;

Коэффициент трения между верёвкой и сваей, - угол навивания, т.е. отношение длины дуги, охваченной верёвкой, к радиусу этой дуги. В обыденной жизни, мы, сами не подозревая, часто пользуемся выгодой, которую указывает нам формула Эйлера.

Что такое узел? Это бечёвка, навитая на валик. Чем больше число оборотов каната, тем трение больше. Правило возрастания трения таково, что, увеличением числа оборотов в прогрессии арифметической, трение растёт в прогрессии геометрической.

Бессознательно пользуется тем же обстоятельством и портной, пришивая пуговицу. Он много раз обматывает нитку вокруг захваченного стежком участка материи и затем обрывает её, если только нитка крепка, пуговица не отпорется. Здесь применяется уже знакомые нам правило: с увеличением числа оборотов нитки в прогрессии арифметической крепость шитья возрастает в прогрессии геометрической. Если бы не было трения, мы не могли бы пользоваться пуговицами: нитки размотались бы под их тяжестью и пуговицы отвалились бы. , -Людвигу Больцману(1844-1906г), австрийскому физику, открывшему основной закон природы, определяющий направление всех физических процессов, стремящихся к равновесию как наиболее вероятному состоянию. -энтропия, т.е. мера достижения системой равновесия, -вероятность состояния системы.

Итоги урока. Домашнее задание: №538,№542

Приложение №1